Exercícios resolvidos de Integral indefinida

Resolva a Integral \[ \int{x^3\sqrt x}dx \]

Resolução

Para resolver a integral \(\int{x^3\sqrt{x}}\,dx\), vamos primeiro simplificar a expressão \(x^3\sqrt{x}\).

Podemos reescrever \(\sqrt{x}\) como \(x^{1/2}\). Assim, a expressão \(x^3\sqrt{x}\) se torna:

\[ x^3 \cdot x^{1/2} = x^{3 + 1/2} = x^{7/2} \]

Agora, temos a integral:

\[ \int{x^{7/2}}\,dx \]

Para integrar \(x^{7/2}\), utilizamos a regra de integração para potências de \(x\):

\[ \int{x^n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Neste caso, \(n = \frac{7}{2}\). Então, aplicamos a regra:

\[ \int{x^{7/2}}\,dx = \frac{x^{(7/2)+1}}{(7/2)+1} + C \]

Simplificamos o expoente e o denominador:

\[ (7/2) + 1 = \frac{7}{2} + \frac{2}{2} = \frac{9}{2} \]

Portanto, a integral se torna:

\[ \int{x^{7/2}}\,dx = \frac{x^{9/2}}{9/2} + C = \frac{2}{9} x^{9/2} + C \]

Então, a solução da integral é:

\[ \int{x^3\sqrt{x}}\,dx = \frac{2}{9} x^{9/2} + C \]

Onde \(C\) é a constante de integração.

Resolva a Integral \[ \int{\frac{x^\frac{1}{3}-5}{x}\ dx} \]

Resolução

Para resolver a integral \(\int \frac{x^{1/3} – 5}{x} \, dx\), vamos dividir o integrando em duas partes separadas:

\[ \int \left( \frac{x^{1/3}}{x} – \frac{5}{x} \right) dx \]

Podemos simplificar as frações:

\[ \frac{x^{1/3}}{x} = x^{1/3 – 1} = x^{-2/3} \]

Portanto, a integral se torna:

\[ \int \left( x^{-2/3} – \frac{5}{x} \right) dx \]

Podemos dividir essa integral em duas integrais separadas:

\[ \int x^{-2/3} \, dx – \int \frac{5}{x} \, dx \]

Vamos resolver cada uma separadamente.

 1. Integral de \(x^{-2/3}\):

Utilizamos a regra da integral para potências de \(x\):

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Aqui, \(n = -2/3\):

\[ \int x^{-2/3} \, dx = \frac{x^{(-2/3)+1}}{(-2/3)+1} + C \]

Calculamos o expoente e o denominador:

\[ (-2/3) + 1 = -2/3 + 3/3 = 1/3 \]

Então:

\[ \int x^{-2/3} \, dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} + C = 3x^{1/3} + C \]

 2. Integral de \(\frac{5}{x}\):

A integral de \( \frac{1}{x} \) é o logaritmo natural:

\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \]

Portanto, temos:

\[ \int \frac{5}{x} \, dx = 5 \ln|x| + C \]

  Juntando as duas partes:

\[ \int \left( x^{-2/3} – \frac{5}{x} \right) dx = 3x^{1/3} – 5\ln|x| + C \]

Assim, a solução da integral é:

\[ \int \frac{x^{1/3} – 5}{x} \, dx = 3x^{1/3} – 5\ln|x| + C \]

Resolva a Integral \[ \int{\frac{t^4\ -3t^2+1}{t^3}\ dt} \]

Para resolver a integral \(\int \frac{t^4 – 3t^2 + 1}{t^3} \, dt\), vamos primeiro simplificar a fração dividindo cada termo no numerador pelo denominador:

\[ \int \left( \frac{t^4}{t^3} – \frac{3t^2}{t^3} + \frac{1}{t^3} \right) dt \]

Simplificando cada termo, temos:

\[ \int \left( t^{4-3} – 3t^{2-3} + t^{-3} \right) dt \]

\[ \int \left( t^1 – 3t^{-1} + t^{-3} \right) dt \]

\[ \int \left( t – 3t^{-1} + t^{-3} \right) dt \]

Agora podemos resolver a integral separando em três integrais:

\[ \int t \, dt – 3 \int t^{-1} \, dt + \int t^{-3} \, dt \]

 1. Integral de \(t\):

\[ \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C \]

 2. Integral de \(t^{-1}\):

\[ \int t^{-1} \, dt = \ln|t| + C \]

Portanto:

\[ -3 \int t^{-1} \, dt = -3 \ln|t| + C \]

 3. Integral de \(t^{-3}\):

Utilizamos a regra da integral para potências de \(t\):

\[ \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \]

Aqui, \(n = -3\):

\[ \int t^{-3} \, dt = \frac{t^{-3+1}}{-3+1} + C \]

\[ \int t^{-3} \, dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C \]

\[ \int t^{-3} \, dt = -\frac{1}{2} t^{-2} + C \]

 Juntando as três integrais:

\[ \int \left( t – 3t^{-1} + t^{-3} \right) dt = \frac{t^2}{2} – 3 \ln|t| – \frac{1}{2} t^{-2} + C \]

Portanto, a solução da integral é:

\[ \int \frac{t^4 – 3t^2 + 1}{t^3} \, dt = \frac{t^2}{2} – 3 \ln|t| – \frac{1}{2} t^{-2} + C \]

Resolva a Integral \[\int \left( l^t – \sqrt[4]{16t} + \frac{3}{t^3} \right) dt \]

RESOLUCAO

Para resolver a integral \(\int \left( l^t – \sqrt[4]{16t} + \frac{3}{t^3} \right) dt\), onde \(l\) é uma constante, vamos separar a integral em três partes e resolver cada uma delas individualmente.

Primeiro, simplificamos a expressão \(\sqrt[4]{16t}\). Lembrando que:

\[ \sqrt[4]{16t} = (16t)^{1/4} = 16^{1/4} \cdot t^{1/4} = 2 \cdot t^{1/4} \]

Portanto, a integral a ser resolvida é:

\[ \int \left( l^t – 2t^{1/4} + \frac{3}{t^3} \right) dt \]

Agora, dividimos em três integrais separadas:

\[ \int l^t \, dt – 2 \int t^{1/4} \, dt + \int \frac{3}{t^3} \, dt \]

 1. Integral de \(l^t\):

A integral de \(l^t\) onde \(l\) é uma constante diferente de 1, é dada por:

\[ \int l^t \, dt = \frac{l^t}{\ln l} + C \]

 2. Integral de \(t^{1/4}\):

Para integrar \(t^{1/4}\), utilizamos a regra da integral para potências de \(t\):

\[ \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \]

Aqui, \(n = 1/4\):

\[ \int t^{1/4} \, dt = \frac{t^{(1/4)+1}}{(1/4)+1} + C = \frac{t^{5/4}}{5/4} + C = \frac{4}{5} t^{5/4} + C \]

Portanto:

\[ -2 \int t^{1/4} \, dt = -2 \left( \frac{4}{5} t^{5/4} \right) = -\frac{8}{5} t^{5/4} + C \]

 3. Integral de \(\frac{3}{t^3}\):

Podemos reescrever \(\frac{3}{t^3}\) como \(3t^{-3}\) e então usar a regra da integral para potências de \(t\):

\[ \int 3t^{-3} \, dt = 3 \int t^{-3} \, dt \]

\[ = 3 \left( \frac{t^{-3+1}}{-3+1} \right) + C \]

\[ = 3 \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) + C \]

\[ = -\frac{3}{2} t^{-2} + C \]

 Juntando as três integrais:

\[ \int \left( l^t – 2t^{1/4} + \frac{3}{t^3} \right) dt = \frac{l^t}{\ln l} – \frac{8}{5} t^{5/4} – \frac{3}{2} t^{-2} + C \]

Portanto, a solução da integral é:

\[ \int \left( l^t – \sqrt[4]{16t} + \frac{3}{t^3} \right) dt = \frac{l^t}{\ln l} – \frac{8}{5} t^{5/4} – \frac{3}{2t^2} + C \]

onde \(C\) é a constante de integração.

Resolva a Integral \[\int \left(2x+5\right)^5 dx \]

Para resolver a integral \(\int (2x + 5)^5 \, dx\), podemos usar a substituição para simplificar a expressão. Vamos definir uma nova variável \(u\) tal que:

\[ u = 2x + 5 \]

Então, a derivada de \(u\) em relação a \(x\) é:

\[ \frac{du}{dx} = 2 \]

\[ du = 2 \, dx \]

\[ dx = \frac{du}{2} \]

Substituindo na integral original, temos:

\[ \int (2x + 5)^5 \, dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{2} \]

\[ = \frac{1}{2} \int u^5 \, du \]

Agora, vamos integrar \(u^5\):

\[ \int u^5 \, du = \frac{u^{5+1}}{5+1} + C = \frac{u^6}{6} + C \]

Substituindo \(u\) de volta para a expressão original:

\[ \frac{1}{2} \int u^5 \, du = \frac{1}{2} \left( \frac{u^6}{6} \right) + C \]

\[ = \frac{1}{12} u^6 + C \]

Finalmente, substituímos \(u\) por \(2x + 5\):

\[ \frac{1}{12} (2x + 5)^6 + C \]

Portanto, a solução da integral é:

\[ \int (2x + 5)^5 \, dx = \frac{1}{12} (2x + 5)^6 + C \]

onde \(C\) é a constante de integração.