EXERCÍCIO 2c) Resolvido de Análise Matemática Demidovitch

 LIVRO: PROBLEMAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – B. DEMIDOVITCH – 4ª Edição – Editora MIR Moscou PUBLICIDADE EXERCÍCIO 2.c): PUBLICIDADE Demonstrar a igualdade $|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$ PUBLICIDADE – Demonstrar que se a e b são números reais, então |a/b|=|a|/|b|. – Demonstrar que o módulo do quociente de dois números é igual ao quociente de módulos dos dois números.  Ou seja, o módulo da divisão de dois números reais é igual a divisão de módulos dos dois números.  EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – DEMIDOVITCH (Todos) PUBLICIDADE Resolução Para demonstrar esta igualdade, precisamos distinguir os 4 casos possíveis em números reais: 🕳️ 1º Caso: $a ≥0 e b≥0$ Por definição de valor absoluto temos: $|a|=a e |b|=b$  $⇔frac{|a|} {|b|} =frac{a} {b} $ Como $a ≥0 e b≥0,$ por definição de produto de dois números reais, temos $a/b≥0$ E como $a/b≥0$ então $|a/b|=a/b$ Logo $|a|/|b|=a/b=|a/b|$  $$⇔|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$ 🕳️ 2º Caso: $a ≥0 e b<0$ Se $b<0$, pelo simétrico de um número real, temos: – b>0; Então: $|a/b|=|-(a/b)|=|a/(-b)|$ Daqui, usando a demonstração análoga do 1º caso teremos: $|a/b|=|a/(-b)|=|a|/|-b|=|a|/|b|$ $$⇔|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$ 🕳️ 3º Caso: $a <0 e b≥0$ Se $a<0$, pelo simétrico de um número real, temos: – a>0; Então: $|a/b|=|-(a/b)|=|(-a)/b|$ Daqui, usando a demonstração análoga do 1º caso teremos: $|a/b|=|(-a)/b|=|-a|/|b|=|a|/|b|$ $$⇔ |frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$      🕳️ 4º Caso: $a<0 e b<0$ Se $a<0$, pelo simétrico de um número real, temos: $-a>0 e -b>0$;  $⇒(-a)/(-b) =a/b$ então $|a/b|=a/b$ Aplicando analogamente as demonstrações do 1º e 2º casos teremos: $|a/b|=|(-a)/(-b)|=|-a|/|-b|=|a|/|b|$ $$⇔|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$   Portanto para quaisquer a e b reais, é válida a igualdade $$|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$   PUBLICIDADE 🕳️ VER MAIS EXERCÍCIOS DEMIDOVITCH  Exercício 1. Exercício 2.a)   2.b) 2.c) 2.d) PUBLICIDADE