EXERCÍCIO 2c) Resolvido de Análise Matemática Demidovitch

 LIVRO: PROBLEMAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – B. DEMIDOVITCH – 4ª Edição – Editora MIR Moscou

EXERCÍCIO 2.c):

Demonstrar a igualdade $|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$

– Demonstrar que se a e b são números reais, então |a/b|=|a|/|b|. – Demonstrar que o módulo do quociente de dois números é igual ao quociente de módulos dos dois números. 

Ou seja, o módulo da divisão de dois números reais é igual a divisão de módulos dos dois números. 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – DEMIDOVITCH (Todos)

Resolução

Para demonstrar esta igualdade, precisamos distinguir os 4 casos possíveis em números reais:

🕳️ 1º Caso: $a ≥0 e b≥0$

Por definição de valor absoluto temos: $|a|=a e |b|=b$ 

$⇔frac{|a|} {|b|} =frac{a} {b} $

Como $a ≥0 e b≥0,$ por definição de produto de dois números reais, temos $a/b≥0$

E como $a/b≥0$ então $|a/b|=a/b$

Logo $|a|/|b|=a/b=|a/b|$ 

$$⇔|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$

🕳️ 2º Caso: $a ≥0 e b<0$

Se $b<0$, pelo simétrico de um número real, temos: – b>0;

Então: $|a/b|=|-(a/b)|=|a/(-b)|$

Daqui, usando a demonstração análoga do 1º caso teremos:

$|a/b|=|a/(-b)|=|a|/|-b|=|a|/|b|$

$$⇔|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$

🕳️ 3º Caso: $a <0 e b≥0$

Se $a<0$, pelo simétrico de um número real, temos: – a>0;

Então: $|a/b|=|-(a/b)|=|(-a)/b|$

Daqui, usando a demonstração análoga do 1º caso teremos:

$|a/b|=|(-a)/b|=|-a|/|b|=|a|/|b|$

$$⇔ |frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$ 

🕳️ 4º Caso: $a<0 e b<0$

Se $a<0$, pelo simétrico de um número real, temos: $-a>0 e -b>0$; 

$⇒(-a)/(-b) =a/b$ então $|a/b|=a/b$

Aplicando analogamente as demonstrações do 1º e 2º casos teremos:

$|a/b|=|(-a)/(-b)|=|-a|/|-b|=|a|/|b|$

$$⇔|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$

Portanto para quaisquer a e b reais, é válida a igualdade $$|frac{a} {b} |= frac{|a|} {|b|}$$

🕳️ VER MAIS EXERCÍCIOS DEMIDOVITCH 

Exercício 1.

Exercício 2.a)   2.b) 2.c) 2.d)