EXERCÍCIO 2b) Resolvido de Análise Matemática Demidovitch

 LIVRO: PROBLEMAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – B. DEMIDOVITCH – 4ª Edição – Editora MIR Moscou

EXERCÍCIO 2.b): 

Demonstrar a igualdade $|a|^2=a^2$

– Demonstrar que se a  é um número real, então |a|²=a². – Demonstrar que o quadrado do módulo de um número real é igual ao quadrado do número real sem módulo. 

Ou seja, o quadrado do valor absoluto de a é igual ao quadrado de a. 

Resolução

Para demonstrar esta igualdade, precisamos distinguir os 2 casos possíveis em números reais:

🕳️ 1º Caso: $a ≥0 $

Por definição de valor absoluto temos: |a|=a

 Então: $|a|^2=a^2$ 

🕳️ 2º Caso: $a<0 $

Por definição de valor absoluto temos: |a|=–a

 Então: $|a|^2=(-a)^2$ E por definição do quadrado de um número real, temos: $|a|^2=(-a)^2=a^2$

Portanto, para qualquer número real a, é válida a igualdade $$|a|^2=a^2$$