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Dada a função y=f(x) = 2x² –x determinar o declive no ponto x=2.
Dada a função $f(x) = 2x^2–x$ determinar o declive no ponto x=2.
Resolução:
O declive de uma função f(x) no ponto $x_0$ é dado por:
$$f'(x_0)=lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta f}{ \Delta x}$$
$f'(x_0)=lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f( x_0+\Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}$
Agora, devemos substituir o ponto $x_0$ por 2 que é o valor do ponto dado.
$f'(2)=lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f( 2+\Delta x) – f(2)}{\Delta x}$.
Vamos calcular a parte os termos: $f( 2+\Delta x)$ e $f(2)$
🕳️ f(2+∆x)
$=2(2+∆x)^2 – (2+∆x)$
$=2[4+4∆x+(∆x)^2]-2-∆x$
$=8+8∆x +(∆x)^2-2-∆x$
$ =(∆x)^2+7∆x+6$
🕳️ f(2)
$=2(2)^2 – (2)=8-2=6$
Então, substituindo as expressões obtidas em $f'(2)=lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f( 2+ \Delta x) – f(2)}{Delta x}$.
teremos:
$f'(2)=lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[∆x)^2+7∆x+6] – 6}{ \Delta x}$
$f'(2)=lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(∆x)^2+7∆x} {\Delta x}$
Colocar o ∆x em evidência:
$f'(2)=lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{∆x(∆x+7)} {\Delta x}$
Simplificar a fracção (cortando e eliminar um ∆x)
$f'(2)=lim_{\Delta x \rightarrow 0} ∆x+7=0+7=7$
Resposta:
Dada a função f(x) = 2x²–x determinar o declive no ponto x=2 é 7.
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