1) Demonstre por indução que a Soma de $n$ números naturais é dada por $frac{n(n+1)}{2}:$
$ 1+2+…+n=frac{n(n+1)}{2}$

PUBLICIDADE

---

Demonstração/ resolução:

i) Para $n=1$ temos: $1=frac{1(1+1)} {2}=frac{2}{2}=1$ => o 1º ponto da indução matemática cumpre-se.

ii) Suponhamos que se cumpre a igualdade para $n=k:$ 

$$ 1+2+…+k=frac{k(k+1)}{2}$$

iii) Vamos mostrar que também se cumpre para $n=k+1$

$$ 1+2+…+k+(k+1) = frac{(k+1)(k+2)}{2}?$$

🕳️ Para tal, vamos adicionar $(k+1)$ em ambos membros da igualdade (ii) 

$ 1+2+…+k=frac{k(k+1)}{2}$

=> $ 1+2+…+k+(k+1)=frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$

🕳️ Pela adição de frações com denominadores diferentes, temos:

=> $ 1+2+…+k+(k+1)=frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$

🕳️ Colocando em evidência o termo $(k+1)$ teremos: 

$$ 1+2+…+k+(k+1) = frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

🕳️ Portanto a igualdade $  1+2+… +n= frac{n(n+1)}{2}$ é válida para qualquer $n$ natural. 

——————————

🕳️ Deixe um comentário. Siga-nos nas redes sociais.

Veja também:

1) $ 1+2+…+n=frac{n(n+1)}{2}$

2) $ 1^2+2^2+…+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3) $ arctan 1/2+ arctan 1/8+…+ arctan 1/2n^2= arctan frac{n}{n+1}$

BAIXAR TAMBÉM: