5 Exercícios Resolvidos sobre Gráfico e Estudo completo de Funções Modulares

O que é função modular?

Uma função modular é aquela em que na sua lei de definição, possui uma variável dentro do módulo. As funções modulares podem ser do tipo: y=|f(x)|  ou y=f(|x|)

Exemplos: $f(x)=|x-1|;$ $g(x)=|x^2-1|;$ $h(x)=x^2-2|x|$

Como é um gráfico de uma função modular? 

O gráfico de uma função módulo do tipo y=|f(x)|  é sempre uma reflexão, em torno do eixo x, dos pontos do gráfico de y=f(x) que possuem ordenada negativa. 

E o gráfico de uma função módulo do tipo y=f(|x|)é sempre uma reflexão, em torno do eixo y, dos pontos do gráfico de y=f(x) que possuem abcissa negativa.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Construa o gráfico e faca o estudo completo, em:

1) f(x)=|x-3|

Gráfico 

Para construir o gráfico da função $f(x)=|x-3|$ podemos nos basear nos seguintes passos:

PUBLICIDADE

---

PUBLICIDADE

---

Estudo completo:

Domínio: Dg=x∈R

Contradomínio: $D’g=y∈R_0^+$ ou $D’g=y∈[0; +∞[$

Zeros: x={-1; 1}

A ordenada na origem é 1

Vértices: $V_1 (-1;0);V_2 (0;1);V_3 (1;0)$

Eixo de simetria: x=3

Monotonia:

– É decrescente em x∈]-∞;-1[ ∪ ]0;1[

– É crescente em x∈]-1;0[ ∪ ]1;+∞[

Variação do sinal 

– A função é positiva em x∈R{-1;1}

– A função é nula (=0) em x={-1;1}

– A função não tem uma parte negativa.

 ———————–

3) $h(x)=x^2-2|x|$

Gráfico

Para construir o gráfico da função $h(x)=x^2-2|x|$ podemos nos basear nos seguintes passos:

1º Passo: Construir o gráfico (tracejado) de $y=x^2-2x:$

Lembre-se que: o gráfico de $y=x^2-2x$ é obtido pelos seguintes pontos da função $y=ax^2+bx+c:$

PUBLICIDADE

---

Resolvendo temos: $x_1=1 ∨x_2=2; x_V=1; y_V=-1$ e a ordenada na origem é o valor de $y=c=0$

2º Passo: Construir o gráfico de $h(x)=x^2-2|x|$  através de uma simetria em relação ao eixo das ordenadas (eixo y)

— Isto significa fazer uma reflexão, em torno do eixo y, dos pontos do gráfico que possuem abcissa negativa.

PUBLICIDADE

---

Estudo completo:

Domínio: Dh=x ∈ R

Contradomínio: D’h=y ∈ [-1; +∞[

Zeros: x={-2; 0; 2}

A ordenada na origem é 0

Vértices: $V_1 (-1;-1);V_2 (0;0);V_3 (1;-1)$

Eixo de simetria: x=0

Monotonia:

– É decrescente em

 x∈]-∞;-1[ ∪ ]0;1[

– É crescente em x∈]-1;0[ ∪ ]1;+∞[

Variação do sinal

– A função é positiva em  x∈]-∞;-2[ ∪ ]2;+∞[

– A função é nula (=0) em x={-2;0;2}

– A função é negativa em  x∈]-2;2[ {0}

4) i(x)=|x|+2

Gráfico

Para construir o gráfico da função i(x)=|x|+2 podemos nos basear nos seguintes passos:

1º Passo: Construir o gráfico (tracejado) de y=x+2:

Lembre-se que: o gráfico de $y=x+2$ é obtido pelos seguintes pontos de $y=ax+b:$

$x+2=0$  ⇔   $x=0-2$  ⇔  $x=-2$ e a ordenada na origem é o valor de y=b=2

2º Passo: Construir o gráfico de i(x)=|x|+2 através de uma simetria em relação ao eixo das ordenadas (eixo y)

— Isto significa fazer uma reflexão, em torno do eixo y, dos pontos do gráfico que possuem abcissa negativa.

PUBLICIDADE

---

Estudo completo: 

Domínio: Di=x∈R

Contradomínio: D’i=y∈[2; +∞[

Zeros: não tem zeros:

A ordenada na origem é 0

Vértices: V.(0;2)

Eixo de simetria: x=0

Monotonia:

– É decrescente em x∈]-∞;0[

– É crescente em x∈]0;+∞[

Variação do sinal:

– A função é positiva em todo x∈R

– A função não é nula (=0) e nem tem parte negativa.

——————–

5) $j(x)=x^2-3|x|+2$

Gráfico

Para construir o gráfico da função $j(x)=x^2-3|x|+2$ podemos nos basear nos seguintes passos:

1º Passo: Construir o gráfico (tracejado) de $y=x^2-3x+2$:

Lembre-se que: o gráfico de $y=x^2-3x+2$ é obtido pelos seguintes pontos de y=ax^2+bx+c:

PUBLICIDADE

---

Resolvendo temos: $x_1=1 ∨x_2=2; x_V=3/2=1,5 ; y_V=-1/4=-0,25$ e a ordenada na origem é o valor de $y=c=2$

2º Passo: Construir o gráfico de $j(x)=x^2-3|x|+2$  através de uma simetria em relação ao eixo das ordenadas (eixo y)

— Isto significa fazer uma reflexão, em torno do eixo y, dos pontos do gráfico que possuem abcissa negativa.

PUBLICIDADE

---

Estudo completo:

Domínio: Dj=x∈R

Contradomínio: D^’ j=y∈[-1/4; +∞[

Zeros: x={-2; -1; 1; 2}

A ordenada na origem é 2

Vértices: $V_1. (-3/2;-1/4);V_2. (0;2);V_3. (3/2;-1/4)$

Eixo de simetria: x=0

Monotonia:

– É decrescente em x∈]-∞;-3/2[ ∪ ]0;3/2[

– É crescente em x∈]-3/2;0[ ∪ ]3/2;+∞[

Variação do sinal 

– A função é positiva em em x∈]-∞;-2[ ∪ ]-1;1[ ∪ ]2;+∞[

– A função é nula (=0) em x={-2; -1; 1; 2}

– A função é negativa em x∈]-2;-1[∪ ]1;2[

————————–

 Baixe também: Todos livros da 10ª classe em PDF AQUI.

Encontre nesta página mais Livros/ e Exames do Sistema Nacional de Ensino, e muitas outras obras importantes para o seu processo de Ensino e/ Aprendizagem

Bons Estudos!