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Volume 6: Tópicos de matemática elementar – Polinómios- António Caminha Muniz Neto. – 2ª Edição.
2ª edição
2013
Rio de Janeiro
SBM
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
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🕳️ O que o Volume 6 de Tópicos de matemática elementar trata?
Volume 6 de Tópicos de matemática elementar debruça sobre números complexos e polinômios. Para além da teoria correspondente usualmente estudada no secundário – como a noção de grau, o algoritmo da divisão e o conceito de raízes de polinômios -, vários são os tópicos não padrão abordados aqui. Dentre outros, destaca-se inicialmente a utilização de números complexos e polinômios como ferramentas de contagem e a apresentação quase completa de uma das mais simples demonstrações do teorema fundamental da álgebra. A seguir, apresenta o famoso teorema de Newton sobre polinômios simétricos e as igualmente famosas desigualdades de Newton, as quais estendem a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica.
O tema seguinte concerne os apetos básicos da teoria de interpolação de polinômios, quando dispensamos especial atenção aos polinômios interpoladores de J. L. Lagrange. Estes, por sua vez, são utilizados para resolver sistemas lineares de Vandermonde sem o recurso à álgebra linear, os quais, a seu turno, possibilitam o estudo de uma classe particular de sequências recorrentes lineares. O livro termina com o estudo das propriedades de factoração de polinômios com coeficientes inteiros, racionais ou pertencentes ao conjunto das classes de congruência relativas a algum módulo primo, seguido do estudo do conceito de número algébrico. Há, aqui, dois pontos culminantes: por um lado, uma prova mais simples do fechamento do conjunto dos números algébricos em relação às operações aritméticas básicas; por outro, o emprego de polinômios ciclotômicos para provar um caso particular do teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas.
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