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Resolva para $x$ em R a equação: $2^{x ^2}+2^{-x^2}=frac{5}{2}$
Resolver uma equação significa achar o valor da incógnita.
Achar o valor de $x$ na equação: $2^{x ^2}+2^{-x^2}=frac{5}{2}$
Ache o valor de x na equação $2^{x ^2}+2^{-x^2}=frac{5}{2}$
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Resolução:
Resolução explicada passo a passo:
$2^{x ^2}+2^{-x^2}=\frac{5}{2}$
Como: $a^{-n} =( \frac{1}{a}) ^n$, temos:
$\Rightarrow 2^{x ^2}+(\frac{1}{2})^{x^2}=\frac{5}{2}$
Da regra da potência de um quociente: $(frac{a}{b}) ^n=\frac{a^n} {b^n} $, temos:
$\Rightarrow 2^{x ^2}+\frac{1^{x^2}}{2^{x^2} }=\frac{5}{2}$
Sabemos que 1 elevados a qualquer expoente real e resultado será sempre 1.
$\Rightarrow 2^{x ^2}+\frac{1}{2^{x^2} }=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2^{x ^2}+\frac{1}{2^{x^2} }-\frac{5}{2}=0$
💡Consideremos $2^{x^2}=t:$
$\Rightarrow t+\frac{1}{t} -\frac{5}{2}=0$
multiplicando tudo por $t$ teremos:
$\Rightarrow t^2+1-frac{5}{2}t=0$
Agora vamos multiplicar tudo por $2$ para eliminar o denominador:
$\Rightarrow 2t^2-5t +2=0$
✳️Esta ($2t^2-5t+2=0$) é uma equação quadrática, para resolvê-la usaremos a fórmula de Báskara $t=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}} {2a}$:
Calcular o binómio discriminate ($\Delta$):
$\Delta = b^2-4ac$
$\Rightarrow \Delta =(-5)^2 -4(2)(2)=$
$\Rightarrow \Delta =25 -8(2)$
$\Rightarrow \Delta =25-16$
$\Rightarrow \Delta =9$
$\Rightarrow \Delta =9 \Rightarrow \sqrt {\Delta} =3$
Vamos substituir na fórmula $t=frac{-b \pm \sqrt{ \Delta}} {2a}$:
$\Rightarrow t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{9}} {2(2)}$:
$\Rightarrow t=\frac{5 \pm 3} {4}$:
Separar o mais ou menos ($\pm$) obtendo $t_1$ e $t_2$
$\Rightarrow t_1=\frac{5-3}{4}$ ou $t_2=\frac{5+3}{4}$
$\Rightarrow t_1=\frac{2}{4}$ ou $t_2=\frac{8}{4}$
$\Rightarrow t_1=\frac{1}{2} $ ou $t_2=2$
💡Voltando substituir em $2^{x^2}=t:$ temos:
$\Rightarrow 2^{x^2} =t_1$ ou $2^{x^2}=t_2$
$\Rightarrow 2^{x^2} =\frac{1}{2} $ ou $2^{x^2}=2$
Igualar as bases: $\frac{1}{2}$ é o mesmo que $2^{-1}$ e 2 é o mesmo que $2^1$
$\Rightarrow 2^{x^2} =2^{-1}$ ou $2^{x^2}=2^1$
Como as bases são iguais, então vamos eliminá-las e trabalhar apenas com os expoentes
$Rightarrow x^2=-1$ ou $x^2=1$
O quadrado de um número real é sempre não-negativo, então $x^2=-1$ não existe em R.
$\Rightarrow x \notin {R}$ ou $x^2=1$
$\Rightarrow x=\pm \sqrt {1}$
$\Rightarrow x=\pm 1 $
Solução $x=$ {$-1; +1$}
🕳️ Resolução resumida
$2^{x ^2}+2^{-x^2}=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2^{x ^2}+(\frac{1}{2})^{x^2}=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2^{x ^2}+\frac{1}{2^{x^2} }=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2^{x ^2}+\frac{1}{2^{x^2} }-\frac{5}{2}=0$
Seja $2^{x^2}=t:$
$\Rightarrow t+\frac{1}{t} -\frac{5}{2}=0$
$\Rightarrow t^2+1-\frac{5}{2}t=0$
$\Rightarrow 2t^2-5t +2=0$
$t=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}} {2a}$ onde $\Delta = b^2-4ac$
$\Rightarrow \Delta =(-5)^2 -4(2)(2)=$
$\Rightarrow \Delta =25-16$
$\Rightarrow \Delta =9$
$t=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}} {2a}$:
$\Rightarrow t=\frac{-(-5) \pm \sqrt{9}} {2(2)}$:
$\Rightarrow t=\frac{5pm 3} {4}$:
$\Rightarrow t_1=\frac{5-3}{4}$ ou $t_2=\frac{5+3}{4}$
$\Rightarrow t_1=\frac{2}{4}$ ou $t_2=\frac{8}{4}$
$\Rightarrow t_1=\frac{1}{2}$ ou $t_2=2$
Como $2^{x^2}=t:$ :
$\Rightarrow 2^{x^2} =\frac{1}{2}$ ou $2^{x^2}=2$
$\Rightarrow 2^{x^2} =2^{-1}$ ou $2^{x^2}=2^1$
$\Rightarrow x^2=-1$ ou $x^2=1$
$\Rightarrow x \notin {R}$ ou $x= \pm \sqrt {1}$
$\Rightarrow x=\pm1 $
Solução $x=$ {$-1;+1$}
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