I. NOÇÕES DE LÓGICA

1.1. Proposição 

O que é Proposição?

Proposição é toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira (V) ou em falsa (F).

 É um enunciado verbal suscetível de ser declarado verdadeiro ou não, que pode ser expressa por meio de palavras ou de símbolos. São palavras ou símbolos que expressam um pensamento com um sentido completo de fatos ou de ideias.

 Essas afirmações assumem valores lógicos (V ou F) que podem ser verdadeiros ou falsos e para representar uma proposição utiliza-se letras minúsculas; as mais usuais são as letras p e q.

 

 Características 

Toda proposição apresenta três características obrigatórias: 

– Tem sujeito e predicado; 

– É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); 

– Tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é Verdadeira (V) ou é Falsa (F). Valor lógico refere-se a um dos dois possíveis juízos que atribui-se a uma proposição; Verdade (V ou 1) ou Falso (F ou 0).

A lógica que satisfaz o princípio da bivalência (ou a lei da bivalência que afirma que toda sentença declarativa que expressa uma proposição de uma teoria sob análise possui um único valor de verdade: ou verdadeiro ou falso) é chamada lógica bivalorada ou lógica bivalente. 

 

Exemplos: 

Exemplos. 1: São Proposições:

a) Nove é diferente de cinco. (9≠5). 

( tem sujeito e predicado, é declarativa e tem um e único valor logico, logo é proposição. 

É uma proposição verdadeira, pois nove e cinco são quantidades diferentes. 

b) Todo o Homem é mortal – Verdadeira

c) Um é maior que três. (1>7) – Falsa 

d) Dois é um número inteiro. (2∈Z) – Verdadeira

e) Três é divisor de onze. (3|11) – Falsa

f) Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4×5=20) – Verdadeira

g) Alguns elefantes voam. — Falsa!

h) O computador é uma máquina. – Verdadeira

 

Exemplos. 2: Não são Proposições:

a) A sopa de cebola. – Não é uma proposição, pois falta o verbo.

b) x + 3 = 9 . – Não é uma proposição, pois não é possível fazer juízo, isto é, não é possível classificá-la em V ou F. 

 c) A cidade y é a mais populosa do Moçambique. – Não é uma proposição.

 d) Em 2021 foram registradas x+100 acidentes de trânsito em Manica. – Não é uma proposição.

Sempre que não tiver um sujeito, ou um verbo, ou não for possível indicar o seu valor logico, então não é uma proposição. 

 

1.2. Princípios do raciocínio logico.

O raciocínio lógico obedece os seguintes três (3) princípios: 

 ➖ Princípio da identidade. – Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira; uma proposição falsa é sempre falsa. 

➖ Princípio da não contradição. – Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 

 ➖ Princípio do terceiro excluído. – Uma proposição ou é verdadeira, ou é falsa: não há outra possibilidade, isto é, não existe um meio-termo entre ser verdadeiro e ser falso: não existe meia verdade, ou meia falsidade 

 

 

1.3. Proposições simples ou compostas

As proposições podem ser simples ou compostas. 

Proposições simples são aquelas que vêm sozinhas, não são acompanhadas por uma outra proposição. São mais fácil de ser entendido. 

Exemplo: 

a)Algum carro é azul.

b) 850 é um número natural.

c) O novo papa é alemão.

d) 4+3=7

Proposições Compostas são aquelas que vêm duas ou mais proposições conectadas entre si, formando uma só sentença.

Exemplos: 

a) 6 é um número natural e é menor que 11

b) Ou Luís é baiano, ou é paulista. 

e) Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. 

d) Comprarei um carro se e somente se eu ganhar na loteria.

 

1.4. Operador não (Negação)

A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ∽p (não p); que é sempre oposta a proposição p.

1.4.1. Como negar uma proposição. 

( Para negar uma proposição simples basta pôr a expressão não na sentença.

Exemplos: 

a) p: João é médico. – ∽ p: João não é médico.

b) q: 15 é um número Natural. – ∽ q: 15 não é um número Natural.

c) r: -8 pertence aos números inteiros. – ∽ r: -8 não pertence aos números inteiros.

Caso a proposição original já seja uma negação, a sua negação será afirmação.

d) s: 17 não pertence aos números Naturais. – ∽ s: 17 pertence aos números Naturais.

e) t: Bande não é professor. – ∽ t: Bande é professor.

 

Existem outras formas de expressar uma negação, utilizando as seguintes expressões: não é verdade que, é falso que, etc. 

Exemplos: 

f) u: O porco voa. – ∽u: Não é verdade que o porco voa; ou ∽u: É falso que o porco voa.

g) v: 6 não é divisível por 3. – ∽v: Não é verdade que 6 não é divisível por 3; ou ∽v: É falso que 6 não é divisível por 3.

g) t: 7 é menor 3. – ∽t: Não é verdade que 7 é menor 3; ou ∽t: É falso que 7 é menor . Ou ainda ou ∽t: 7 é maior ou igual a 3.

 

1.4.2. Condição para que uma negação seja proposição

 Para que negação seja uma proposição deve, também, ter um e somente um, isto é, ∽p (não p) é proposição se haver possibilidade de ser classificada em verdadeira ou falsa. 

1.4.3. Valor logico de uma negação 

A proposição ∽p (não p) tem sempre o valor oposto de p:

 – ∽p (não p) é verdadeira se p for falsa e;

 – ∽p (não p)  é falsa se p for verdadeira.

Exemplos 

a) p: O porco voa. (falsa). – ∽p: Não é verdade que o porco voa. (verdadeira)

b) g) t: 3 é menor 7. (verdadeira). –∽t: 7 é maior ou igual a 3. (falsa).

 

1.4.3.1. Tabela verdade da negação.

Tabela verdade é utilizada no estudo da lógica matemática para definir o valor lógico de uma proposição, isto é, para determinar se uma proposição é verdadeira (V) ou falsa (F).

A tabela-verdade negação é a seguinte:

Daí temos que a negação inverte o valor lógico da proposição: ∽ V = F e ~F = V. 

Portanto: uma dupla negação não altera o valor lógico de uma proposição.

 a)∽ ∽ F = F b) ∽ ∽ V = V.

c)∽ ∽∽V = ∽∽ F =∽V = F

 

1.5. Exercícios

1. Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, quais são verdadeiras? 

a) 5×4 = 20                            b) 5 – 4 = 7

c) 2 + 7 × 3 = 5 × 4 +3.         d) 5(3+1) = 5×3+5×1

e) 1+3 ≠ 1+6.                          f) 11 – 4 ×2

g) 3x +2=4

Resolução

a) 5×4 = 20 Proposição Verdadeira

b) 5 – 4 = 7 Proposição Falsa 

c) 11 – 4 ×2 Não é proposição  

d) 5(3+1) = 5×3 + 5×1 Proposição Verdadeira

e) 1+3 ≠ 1+6 Proposição Falsa 

f) 2 + 7 × 3 = 5 × 4 +3 Proposição Verdadeira

g) 3x +2=4 Não é proposição    

 

2. Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras?