LIVRO: PROBLEMAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – B. DEMIDOVITCH – 4ª Edição – Editora MIR Moscou
EXERCÍCIO 3:
Resolver as desigualdades
a) $|x – 1|<3$
b) $|x+1|>2$
c) $|2x+1|< 1$
d) $|x-1|<|x+1|$
Resolução:
🕳️ a) $|x – 1|<3$
Pela definição do módulo temos:
$|x – 1|<3$
$ ⇔ x – 1<3 vee x-1>-3$
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – DEMIDOVITCH (Todos)
Passar o (–1) para o segundo membro da desigualdade:
$⇔x<3+1 vee x>-3+1$
$⇔x<4 vee x>-2$
Reorganizando estas desigualdades temos:
$⇔2<x<4$
Representar geometricamente:
⇔Solução: $x in] – 2; 4[$
🕳️ b) $|x+1|>2$
Pela definição do módulo temos:
$⇔x+1>2 vee x+1<-2$
Passar o +1 para o segundo membro da desigualdade:
$⇔x>2-1 vee x<-2-1$
$⇔x>1 vee x <-3$
Representar geometricamente:
⇔Solução: $x in] – infty; – 3[ cup] 1; + infty[$
🕳️ c) $|2x+1|< 1$
Pela definição do módulo temos:
$⇔2x+1<1 vee 2x+1>-1$
Passar o +1 para o segundo membro da desigualdade:
$⇔2x<1-1 vee 2x>-1-1$
$⇔2x<0 vee 2x >-2$
Passar o 2 para o segundo membro da desigualdade: – estava a multiplicar o 1º membro então passará a dividir o 2º membro:
$⇔x<0/2 vee x >-2/2$
$⇔x<0 vee x >-1$
Reorganizar as desigualdades:
$⇔-1<x<0$
Representar geometricamente:
⇔Solução: $x in] – 1; 0[$
🕳️ d) $|x-1|<|x+1|$
Elevar a 2 ambos membros desta desigualdade:
$|x-1|^2<|x+1|^2$
$⇔ x^2-2x+1 <x^2+2x+1$
Eliminar os termos semelhantes:
$⇔ -2x <+2x$
Passar o +2x para o primeiro membro
$⇔ -2x-2x <0$
$⇔ -4x <0$
Multiplicar tudo por –1:
$⇔ 4x >0$
Passar o 4 para o segundo membro
$⇔ x >frac{0}{4}$
$⇔ x >0$
Representar geometricamente:
⇔Solução: $x in] 0; +infty[$