EXERCÍCIO 2d) Resolvido de Análise Matemática Demidovitch

 LIVRO: PROBLEMAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – B. DEMIDOVITCH – 4ª Edição – Editora MIR Moscou

EXERCÍCIO 2.d):

Demonstrar a igualdade $sqrt{a^2} =|a|$ 

 

– Demonstrar que se a  é um número real, então $sqrt{a^2}=|a|.$ – Demonstrar que  a raiz quadrada do quadrado de um número real é sempre igual ao módulo desse número. 

Ou seja, a raiz quadrada de a² é igual ao módulo de a. 

Resolução

Para demonstrar esta igualdade, precisamos distinguir os 2 casos possíveis em números reais:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – DEMIDOVITCH (Todos)

🕳️ 1º Caso: $a ≥0 $

Por definição de valor absoluto e da raiz quadrada de um número real temos: $sqrt{a^2}=a=|a|$

 Então: $sqrt{a^2} =|a|$ 

🕳️ 2º Caso: $a<0 $

Por definição do simétrico e módulo de um número real temos: –a>0 e |a|=-a

 Então: $sqrt{a^2}=sqrt{(-a)^2} =-a=|a|$

Portanto, para qualquer número real a, é válida a igualdade $$sqrt{a^2}=|a|$$

FIM 

🕳️ Exemplos:

$sqrt{5^2}=5=|5|$

$sqrt{(-5)^2}=sqrt{(5)^2}=5 =-(-5)=|-5|$

$sqrt{9^2}=9=|9|$

$sqrt{(-9)^2}=sqrt{(9)^2}=9 =-(-9)=|-9|$

🕳️ VER MAIS EXERCÍCIOS DEMIDOVITCH 

Exercício 1.

Exercício 2.a)   2.b) 2.c) 2.d)