LIVRO: PROBLEMAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – B. DEMIDOVITCH – 4ª Edição – Editora MIR Moscou

EXERCÍCIO 2.a): 

Demonstrar a igualdade $|a.b|=|a||b|$

– Demonstrar que se a e b são números reais, então |a.b|=|a||b|. – Demonstrar que o modulo do produto de dois números é igual ao produto dos módulos dos dois números.

Resolução

Para demonstrar esta igualdade, precisamos distinguir os 4 casos possíveis em números reais:

🕳️ 1º Caso: $a ≥0 e b≥0$

Por definição de valor absoluto temos: $|a|=a e |b|=b$ 

$⇔|a||b|=a.b$

Como $a ≥0 e b≥0,$ por definição de produto de dois números reais, temos $a.b≥0$

E como $a.b≥0$ então $|a.b|=a.b$

Logo $|a||b|=a.b=|a.b|$ 

$⇔|a. b|=|a||b|$

🕳️ 2º Caso: $a ≥0 e b<0$

Se $b<0$, pelo simétrico de um número real, temos: – b>0;

Então: $|a.b|=|-(a.b)|=|a(-b)|$

Daqui, usando a demonstração análoga do 1º caso teremos:

$|a.b|=|a(-b)|=|a||-b|=|a||b|$

$⇔|a.b|=|a||b|$

🕳️ 3º Caso: $a <0 e b≥0$

Se $a<0$, pelo simétrico de um número real, temos: – a>0;

Então: $|a.b|=|-(a.b)|=|(-a)b|$

Daqui, usando a demonstração análoga do 1º caso teremos:

$|a.b|=|(-a)b|=|-a||b|=|a||b|

$⇔ |a.b|=|a||b|$

🕳️ 4º Caso: $a<0 e b<0$

Se $a<0$, pelo simétrico de um número real, temos: $-a>0 e -b>0$; 

$⇒(-a)(-b) =ab$ então $|a.b|=a.b$

Aplicando analogamente as demonstrações do 1º e 2º casos teremos:

$|a.b|=|(-a)(-b)|=|-a||-b|=|a||b|$ $⇔|a.b|=|a||b|$

Portanto para quaisquer a e b reais, é válida a igualdade $$|a.b|=|a||b|$$

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