Resolução da Equação Diofantina | 5^x+x^2=3 | Você deveria conhecer esse truque simples.

Neste vídeo, vamos resolver um exercício de equação exponencial passo a passo. A equação é a seguinte: (5^x + x^2 = 3). O objetivo é encontrar o valor de x.

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Passo 1: Isolar x

Como a letra x está no expoente em (5^x), precisamos isolar essa parte. Vamos mover o termo (x^2) para o segundo membro da equação:

(5^x = 3 – x^2)

Passo 2: Simplificar o número 3

O número 3 pode ser reescrito como (sqrt{3} times sqrt{3}), ou seja, a raiz quadrada de 3 elevada ao quadrado. Substituindo o número 3 na equação, temos:

(5^x = sqrt{3}^2 – x^2)

Passo 3: Usar a diferença de quadrados

A diferença de dois quadrados ((a^2 – b^2)) pode ser escrita como o produto da soma pela diferença dos termos (((a + b)(a – b))). Aplicando essa propriedade na equação, temos:

(5^x = (sqrt{3} + x)(sqrt{3} – x))

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Passo 4: Simplificar (5^x)

Como (5^x) pode ser escrito como (5^{x times 1}), podemos reescrever a equação da seguinte forma:

(5^{x times 1} times 5^0 = (sqrt{3} + x)(sqrt{3} – x))

O valor de (5^0) é igual a 1, então a equação fica:

(5^x times 1 = sqrt{3} + x times sqrt{3} – x)

Passo 5: Adicionar as duas equações

Vamos somar as duas equações para simplificá-las:

(5^x + 5^0 = sqrt{3} + sqrt{3} + x – x)

Como (5^0) é igual a 1, podemos substituir na equação:

(5^x + 1 = 2 times sqrt{3})

Passo 6: Isolar x

Vamos isolar x movendo o número 1 para o segundo membro da equação:

(5^x = 2 times sqrt{3} – 1)

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Passo 7: Resolver como uma equação exponencial simples

Para eliminar a base 5 e ficarmos apenas com x, vamos aplicar o logaritmo de base 5 nos dois lados da equação. Temos:

(log_5(5^x) = log_5(2 times sqrt{3} – 1))

O logaritmo de base 5 de (5^x) é igual a x, então a equação fica:

(x = log_5(2 times sqrt{3} – 1))

Portanto, o valor de x é igual a (log_5(2 times sqrt{3} – 1)).

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