Problema de Olimpíada de Matemática: 1^x+5^x=25^x | Equação exponencial | Passo a Passo

Neste artigo, vamos explorar a resolução de uma equação exponencial passo a passo. A equação em questão é:

1^x + 5^x = 25^x

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Divisão por 25^x

Para simplificar a equação, vamos dividir todos os termos por 25^x. Isso resulta em:

1^x / 25^x + 5^x / 25^x = 1

Como a^x / b^x é o mesmo que (a / b)^x, podemos reescrever os termos como:

(1 / 25)^x + (5 / 25)^x = 1

Isso pode ser simplificado para:

1 / 25^x + 1 / 5^x = 1

Propriedade das Potências

Usando a propriedade das potências, sabemos que (b)^k)^m é o mesmo que (b)^m)^k. Aplicando isso à equação, obtemos:

(1 / 25) ^x = (1 / 5) ^x)²

((1 / 5) ^x)²  + (1 / 5) ^x = 1

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Equação Quadrática

Agora, podemos reescrever a equação como uma equação quadrática:

 y² + y – 1 = 0

Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:

y= (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Substituindo os coeficientes a, b e c na fórmula, temos:

y = (-1 ± √(1 – 4 * 1 * -1)) / 2 * 1

Calculando o discriminante Δ, obtemos Δ = 5.

Portanto, as raízes da equação são:

y₁ = (-1 – √5) / 2

y₂ = (-1 + √5) / 2

No entanto, como estamos lidando com uma base positiva, a solução apenas faz sentido quando y₂ = (-1 + √5) / 2.

Valor de x

Substituindo o valor de x nas bases 1/5, obtemos:

(1 / 5) ^x = (-1 + √5) / 2

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Logaritmo

Podemos resolver essa equação utilizando logaritmos. Aplicando o logaritmo de base 1/5 em ambos os lados, temos:

log_1/5(1/5^x) = log_1/5((-1 + √5) / 2)

Usando a propriedade log_b(b^x) = x, podemos simplificar a equação para:

x = log_1/5((-1 + √5) / 2)

Essa é a solução para a equação exponencial original.

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