LIVRO: PROBLEMAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – B.
DEMIDOVITCH – 4ª Edição – Editora MIR Moscou  

EXERCÍCIO
1.

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1. Demonstrar que se a e b são números reais, então $||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|$

Demonstrar que o módulo da diferença entre módulos de dois números é menor ou igual ao módulo da diferença dos dois números e é menor ou igual a soma dos módulos dos dois números. 

Resolução:

$||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|$  

Tomemos $a=a-b+b=(a-b)+b$ ⇔ $a=(a-b)+b$

O seu valor absoluto é: $|a|=|(a-b)+b|$

Pela desigualdade triangular teremos: $|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|$

Logo: $|a|≤|a-b|+|b|$   ó Passando o |b| para o 1º membro desta desigualdade
teremos: $$|a|-|b|≤|a-b|   ….(i)$$ 

Além disso:  $|a-b|=|b-a|≥|b|-|a|,$ isto significa que:

$$|a-b|≥|b|-|a|    … (ii) $$

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA – DEMIDOVITCH (Todos)

De  (i) e  (ii) temos: $$||a|-|b||≤|a-b|     …(iii) $$

Assim, fica
demonstrada a 1ª parte desta desigualdade dada.

Por outro lado
temos: $|a-b|=|a+(-b)|$

E pela
desigualdade triangular temos: $|a-b|=|a+(-b)|≤|a|+|-b|$

Como $|-b|=|b|$
então $|a|+|-b|=|a|+|b|.$

Assim temos:
$|a-b|=|a+(-b)|≤|a|+|-b|=|a|+|b|$

$$ ⇔|a-b|≤|a|+|b|     … (iv) $$

Assim, fica
demonstrada a 2ª parte desta desigualdade dada.

Portanto,
de (iii) e  (iv)  conclui-se que:

$$||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|$$ 

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