Atividade 1 de Geometria projetiva – UCM – 4º – Resolução

Três rectas distintas e as suas correspondentes imagens são suficientes para determinar uma única projectividade.

TRABALHO
1 DE GEOMETRIA PROJETIVA – UCM

Atividade 1 de Geometria projetiva – UCM

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1. Escreva a proposição dual de:

a) Em cada recta há, pelo menos, três pontos.

b) Nem todos os pontos pertencem a um mesmo
plano

c) Três rectas distintas e as suas correspondentes imagens são suficientes para determinar uma única projectividade.

d) Dois planos distintos definem uma única
recta.

e) Duas rectas não paralelas definem um único
ponto.

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2. Baseie-se
no princípio de dualidade no espaço e formule as propriedades duais das
seguintes:

a) A uma recta pertencem infinitos pontos.

b) Dois pontos distintos determinam uma recta
a qual pertencem.

c) Um ponto e uma recta que não se pertencem
determinam um plano.

3. Diga
qual das seguintes configurações é possível representar?

a. $(3_9; 9_3)$

b. $(10_5; 5_10)$

c. $(10_3; 10_3)$

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4. Seja dado o
paralelogramo ABCD e uma recta n em qualquer posição. Seja M um ponto
pertencente ao lado (AB). Traçar por M uma recta l paralela a n, apenas com régua.

5.Mostre que se três triângulos são
perspectivos dois a dois com um mesmo centro de perspectividade, então os eixos
de perspectividade são concorrentes.

6. Dados dois pontos A e B e uma recta p, determinar a
intersecção de p com (AB), sem traçar (AB). (dica: completar
o quadrivétice ABCD e usar o teorema de Staudt tomando a recta p como eixo de
perspectividade).

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7. Dado o
quadrivétice ABCD com os pontos diagonais P, Q e R. prove que no
lado (AC) os vértices A e C, são conjugados harmonicamente com os pontos
diagonal Pϵ(AC) e da intersecção das rectas (QR) e (AC).

8. Seja ABC o
triangulo diagonal do quadrivétice PQRS. Como
podemos reconstruir PQRS se somente ABC e S nos forem dados?

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9. Sejam dados no
plano afim um triângulo e três paralelogramos tais que, para cada um deles o
lado do triângulo é diagonal do paralelogramo e os outros dois lados são lados
adjacentes do paralelogramo. Demonstrar que as segundas diagonais são concorrentes.

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